Контакты
Главный девиз нашей строительной компании!
Строительство дома - важнейшее событие в жизни любого человека. Когда мы строим дом, мы вкладываем не только время и деньги, но и частичку души. Поэтому, жилье всегда будет отражением своего владельца. Дом - это место где мы нужны и желанны, дом - наша крепость и убежище, дом - символ достатка и благополучия.

рівнобедрена трапеція

  1. самопересеченія [ правити | правити код ]

В евклідової геометрії рівнобедрена трапеція - це опуклий чотирикутник з віссю симетрії , Що проходить через середини двох протилежних сторін. Цей чотирикутник є окремим випадком трапецій . У будь-який рівнобедреної трапеції дві протилежні сторони (підстави) паралельні , А дві інші сторони (бічні) мають однакові довжини (властивість, яким задовольняє також паралелограм ). Діагоналі також мають однакові довжини. Кути при кожному основі рівні і кути при різних підставах є суміжними (в сумі дають 180º).

прямокутники і квадрати зазвичай вважаються спеціального випадку рівнобедрених трапецій, хоча в деяких джерелах вони такими не вважаються.

Іншим спеціальним випадком є ​​трапеція з 3 рівними сторонами. В англомовній літературі її називають trilateral trapezoid (тристороння трапеція) [1] , Trisosceles trapezoid (тріравнобедренная трапеція) [2] або, рідше, symtra [3] . Таку трапецію можна розглядати як відсікання 4 послідовних вершин від правильного багатокутника , Що має 5 або більше сторін.

самопересеченія [ правити | правити код ]

будь несамопересекающійся чотирикутник з єдиною віссю симетрії повинен бути або рівнобедреної трапецією, або дельтоидов [3] . Однак, якщо дозволити самоперетинів, безліч симетричних чотирикутників потрібно розширити включенням в нього самопересекающиеся рівнобедрені трапеції, в яких пересічні сторони рівні, а дві інші сторони паралельні, і антипаралелограм , У яких протилежні сторони мають рівні довжини.

У будь-якого антипаралелограм опукла оболонка є рівнобедреної трапецією і антипаралелограм може бути отриманий з діагоналей рівнобедреної трапеції [4] .

Якщо чотирикутник є трапецією , Не обов'язково перевіряти, чи рівні бічні сторони (і недостатньо, оскільки ромби, є спеціальними випадками трапецій з бічними сторонами рівної довжини, але у нього немає осьової симетрії через середини підстав). Будь-яке з наступних властивостей виділяє рівнобедрений трапецію від інших трапецій:

  • Діагоналі мають однакову довжину.
  • Кути при основі рівні.
  • Відрізок, що з'єднує середини паралельних сторін, перпендикулярний ім.
  • Протилежні кути додатковими (до 180º), з чого, в свою чергу, випливає, що рівнобедрений трапеції є вписаний чотирикутник .
  • Діагоналі діляться точкою перетину на попарно рівні відрізки. У термінах малюнка нижче, AE = DE, BE = CEAECE, якщо хочуть виключити прямокутники).

Якщо прямокутники включаються в клас трапецій, то можна визначити рівнобедрений трапецію як "вписаний чотирикутник з рівними діагоналями" [5] , Як "вписаний чотирикутник з парою паралельних сторін", або як "опуклий чотирикутник з віссю симетрії, що проходить через середини протилежних сторін".

У рівнобедреної трапеції кути при підставах попарно рівні. На малюнку нижче кути ∠ ABC і ∠ DCB є однаковими тупими кутами, а кути ∠ BAD і ∠ CDA є однаковими гострими кутами.

Оскільки прямі AD і BC паралельні, кути, що належать протилежним підставах, є додатковими, тобто ∠ ABC + ∠ BAD = 180 °.

діагоналі рівнобедреної трапеції рівні. Тобто будь-яка рівнобедрена трапеція є равнодіагональним чотирикутником . Однак діагоналі рівнобедреної трапеції діляться в одній і тій же пропорції. На малюнку діагоналі AC і BD мають однакову довжину (AC = BD) і ділять один одного на відрізки тієї ж довжини (AE = DE і BE = CE).

ставлення , В якому діляться діагоналі, дорівнює відношенню довжин паралельних сторін, тобто

A E E C = D E E B = A D B C. {\ Displaystyle {\ frac {AE} {EC}} = {\ frac {DE} {EB}} = {\ frac {AD} {BC}}.} A E E C = D E E B = A D B C

Довжина кожної діагоналі, згідно теоремі Птолемея , Задається формулою

p = a b + c 2 {\ displaystyle p = {\ sqrt {ab + c ^ {2}}}} p = a b + c 2 {\ displaystyle p = {\ sqrt {ab + c ^ {2}}}}   , ,

де a і b - довжини паралельних сторін AD і BC, а c - довжина кожної бічної сторони AB і CD.

Висота, згідно теоремі Піфагора , Задається формулою

h = p 2 - (a + b 2) 2 = 1 2 4 c 2 - (a - b) 2. {\ Displaystyle h = {\ sqrt {p ^ {2} - \ left ({\ frac {a + b} {2}} \ right) ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {4c ^ {2} - (ab) ^ {2}}}.} h = p 2 - (a + b 2) 2 = 1 2 4 c 2 - (a - b) 2

Відстань від точки E дощенту AD задається формулою

d = a h a + b {\ displaystyle d = {\ frac {ah} {a + b}}} d = a h a + b {\ displaystyle d = {\ frac {ah} {a + b}}}   , ,

де a і b - довжини підстав AD і BC, а h - висота трапеції.

Площа рівнобедреної (а також будь-який) трапеції дорівнює половині твори суми підстав на висоту. На малюнку, якщо ми приймемо AD = a, BC = b, а висота h дорівнює довжині відрізка між прямими AD і BC (перпендикулярного їм), то площа K задається формулою:

K = h 2 (a + b). {\ Displaystyle K = {\ frac {h} {2}} \ left (a + b \ right).} K = h 2 (a + b)

Якщо замість висоти трапеції відомі довжини бічних сторін AB = CD = c, то площа можна обчислити по формулою Брахмагупти площі вписаних чотирикутників. Рівність двох бічних сторін спрощує формулу до

K = (sa) (sb) (sc) 2, {\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) ^ {2}}}} K = (sa) (sb) (sc) 2, {\ displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) ^ {2}}}}

де s = 1 2 (a + b + 2 c) {\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + 2c)} де s = 1 2 (a + b + 2 c) {\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} (a + b + 2c)}   - напівпериметр трапеції - напівпериметр трапеції. Ця формула аналогічна формулою Герона обчислення площі трикутника. Цю ж формулу можна переписати у вигляді

K = 1 4 (a + b) 2 (a - b + 2 c) (b - a + 2 c). {\ Displaystyle K = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + b) ^ {2} (a-b + 2c) (b-a + 2c)}}.} K = 1 4 (a + b) 2 (a - b + 2 c) (b - a + 2 c)

Радіус описаного кола задається формулою [6]

R = c a b + c 2 4 c 2 - (a - b) 2. {\ Displaystyle R = c {\ sqrt {\ frac {ab + c ^ {2}} {4c ^ {2} - (ab) ^ {2}}}}.} R = c a b + c 2 4 c 2 - (a - b) 2

для прямокутника , В якому a = b, формула спрощується до R = 1 2 a 2 + c 2 {\ displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}} }} для   прямокутника   , В якому a = b, формула спрощується до R = 1 2 a 2 + c 2 {\ displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}} }} .

  • George Bruce Halsted. Elementary Synthetic Geometry. - J. Wiley & sons, 1896..
  • William Dwight Whitney, Benjamin Eli Smith. The Century Dictionary and Cyclopedia. - The Century co., 1911..


Copyright ©
Карта сайта
Все права защищены