Контакты
Главный девиз нашей строительной компании!
Строительство дома - важнейшее событие в жизни любого человека. Когда мы строим дом, мы вкладываем не только время и деньги, но и частичку души. Поэтому, жилье всегда будет отражением своего владельца. Дом - это место где мы нужны и желанны, дом - наша крепость и убежище, дом - символ достатка и благополучия.

НОУ ІНТУЇТ | лекція | Математичні методи опису моделей конструкцій РЕЗ. Елементи теорії графів

  1. НОУ ІНТУЇТ | лекція | Математичні методи опису моделей конструкцій РЕЗ. Елементи теорії графів ...
  2. 17. 3. Способи завдання графів
  3. Матриця суміжності
  4. Матриця вагових співвідношень
  5. матриця інцидентності
  6. Контрольні питання
  7. 17. 3. Способи завдання графів
  8. Матриця суміжності
  9. Матриця вагових співвідношень
  10. матриця інцидентності
  11. Контрольні питання
  12. 17. 3. Способи завдання графів
  13. Матриця суміжності
  14. Матриця вагових співвідношень
  15. матриця інцидентності

НОУ ІНТУЇТ | лекція | Математичні методи опису моделей конструкцій РЕЗ. Елементи теорії графів

17. 2. Частини графа

Граф Граф   є частиною графа   , якщо   і   , Тобто  граф містить всі вершини і ребра будь-якій його частині є частиною графа , якщо і , Тобто граф містить всі вершини і ребра будь-якій його частині.

Частина, яка поряд з деяким підмножиною ребер графа містить і всі інцидентні їм вершини, називається подграфом.

Частина, яка поряд з деяким підмножиною ребер графа містить всі вершини графа ( Частина, яка поряд з деяким підмножиною ребер графа містить всі вершини графа (   ,   ), Називається суграфом , ), Називається суграфом.

Вихідний граф по відношенню до його підграф називають надграфом, а по відношенню до суграфом - сверхграфом.

Сукупність усіх ребер графа, що не належать його підграф (разом з інцидентними вершинами), утворює доповнення подграфа ( Мал. 17.12 ).


Мал.17.12.

Граф і його складові: а) граф; б) частину графа; в) підграф; г) суграфом

Зв'язний неорієнтований граф, що не містить циклів, називають деревом.

Незв'язний граф без циклів, окремі компоненти зв'язності якого є деревами, називають лісом.


Мал.17.13.

Три різних дерева, які можна побудувати на безлічі з трьох вершин

Всі наведені дерева ізоморфні один одному, тобто на трьох вершинах можна побудувати тільки одне неізоморфних дерево.

17. 3. Способи завдання графів

Вже зазначалося, що довільний граф можна задати сукупністю двох множин: Вже зазначалося, що довільний граф можна задати сукупністю двох множин:   - безлічі вершин і   - безлічі ребер (дуг) графа або безлічі   і відображення   безлічі   в - безлічі вершин і - безлічі ребер (дуг) графа або безлічі і відображення безлічі в .

Умовні позначення таких графів Умовні позначення таких графів   і   , Відповідно і , Відповідно.

Інший зручною формою опису графів є уявлення їх за допомогою матриць, методика формальної розробки яких добре розроблена.

Матриця суміжності

З раніше сказаного відомо, що дві вершини З раніше сказаного відомо, що дві вершини   і   графа   називаються суміжними, якщо вони є граничними вершинами ребра і графа називаються суміжними, якщо вони є граничними вершинами ребра .

Ставлення суміжності на множині вершин графа можна визначити, представивши кожне ребро як пару суміжних вершин, тобто

Для неорієнтованих графів такі пари невпорядковані, так що

а для орграфов - впорядковані, причому, а для орграфов - впорядковані, причому,   і   означають, відповідно, початкову і кінцеву вершини дуги і означають, відповідно, початкову і кінцеву вершини дуги . Петля при вершині в обох випадках було визнано невпорядкованою парою .

безліч вершин безліч вершин   разом з певним на ньому відношенням суміжності повністю визначає граф разом з певним на ньому відношенням суміжності повністю визначає граф.

Граф можна уявити матрицею суміжності.

Рядки і стовпці матриці відповідають вершинам графа, а її Рядки і стовпці матриці відповідають вершинам графа, а її   елемент дорівнює числу кратних ребер, що зв'язують вершини   і   (Або спрямованих від вершини   до вершини   для орграфов) елемент дорівнює числу кратних ребер, що зв'язують вершини і (Або спрямованих від вершини до вершини для орграфов).

Наприклад, для графа Мал. 17.2 , А, матриця суміжності має вигляд

Матриця суміжності неорієнтованого графа завжди симетрична, а орграфа - в загальному випадку несиметрична. Неорієнтованим ребрах відповідають пари ненульових елементів, симетричних відносно головної діагоналі матриці, а петель - ненульові елементи головної діагоналі.

У стовпчиках і рядках, відповідних ізольованим вершин, всі елементи дорівнюють нулю. Елементи матриці простого графа рівні 0 або 1, причому, елементи головної діагоналі дорівнюють 0.

Правильність складання матриці легко перевірити: для неорієнтованого графа сума елементів в кожному i -тому стовпці або рядку відповідає ступеню вершини Правильність складання матриці легко перевірити: для неорієнтованого графа сума елементів в кожному i -тому стовпці або рядку відповідає ступеню вершини . Якщо елементи матриці розташовані на головній діагоналі, відмінні від нуля, то це свідчить про наявність петель в вершині .

Для неорієнтованого графа матриця суміжності Для неорієнтованого графа матриця суміжності   симетрична щодо головної діагоналі, так як симетрична щодо головної діагоналі, так як .

При вирішенні цілого класу задач проектування РЕЗ доводиться оперувати матрицями, які будуються аналогічно матрицями суміжності, але значення їх елементів визначаються мірою (вагою), пов'язаної з ребром (дугою) графа.

В САПР широко використовують два різновиди таких матриць: матрицю вагових співвідношень і матрицю довжин.

Матриця вагових співвідношень

Це квадратна матриця Це квадратна матриця   , Загальний елемент якої , Загальний елемент якої

де де   - вага зв'язку - вага зв'язку .

Застосування матриць вагових співвідношень дозволяє враховувати різні вимоги до скорочення довжини тих чи інших електричних з'єднань в конструкціях РЕЗ, умови теплової та електромагнітної сумісності окремих елементів схеми і інші.

матриця довжин

Це квадратна матриця Це квадратна матриця   загальний елемент якої загальний елемент якої

де де   - довжина ребра - довжина ребра .

В евклідовій метриці відстань між двома точками на площині

де де   і   - координати вершин   і   , Відповідно і - координати вершин і , Відповідно.

Цей вислів незручно для використання в машинних програмах, так як витяг квадратного кореня на ЕОМ вимагає великих витрат часу. Тому часто користуються лінійної метрикою, тим більше, що при вирішенні багатьох конструкторських завдань вона цілком виправдана.

Приклад. При проектуванні багатошарових друкованих плат трасування з'єднань ведеться в кожному з шарів у взаємно перпендикулярних напрямках, в зв'язку з чим довжина електричних зв'язків між елементами з координатами Приклад

Лінійна метрика виявляється непридатною для вирішення завдань, в яких має місце обчислення похідних за координатами (оптимізація нелінійних функцій).

У цьому випадку відстань між двома точками представляється у вигляді статечної функції:

де де   - показник ступеня (як правило,   ) - показник ступеня (як правило, ).

Матрицю довжин використовують при вирішенні завдань оптимізації розміщення конструктивних елементів на платі, коли одним із критеріїв якості є мінімум сумарної довжини з'єднань.

матриця інцидентності

якщо вершина якщо вершина   є кінцем ребра   то кажуть, що вони інцидентні: вершина   инцидентна ребру   і ребро   інцидентне вершині є кінцем ребра то кажуть, що вони інцидентні: вершина инцидентна ребру і ребро інцидентне вершині. У той час як суміжності є відношенням між однорідними об'єктами (вершинами), инцидентность - це відношення між різнорідними об'єктами (вершинами і ребрами).

При розгляді орграфов розрізняють позитивну инцидентность (дуга виходить з вершини) і негативну инцидентность (дуга заходить в вершину).

Розглядаючи инцидентность вершин і ребер графа, можна уявити його матрицею інцидентності розміру Розглядаючи инцидентность вершин і ребер графа, можна уявити його матрицею інцидентності розміру   , Рядки якої відповідають вершинам, а стовпці - ребрах , Рядки якої відповідають вершинам, а стовпці - ребрах.

Для неорієнтованого графа елементи цієї матриця визначаються за наступним правилом: ij - елемент дорівнює 1, якщо вершина Для неорієнтованого графа елементи цієї матриця визначаються за наступним правилом: ij - елемент дорівнює 1, якщо вершина   инцидентна ребру   і дорівнює нулю, якщо   і   НЕ інцидентні инцидентна ребру і дорівнює нулю, якщо і НЕ інцидентні.

У разі орграфа ненульовий У разі орграфа ненульовий   - елемент дорівнює   , якщо   - початкова вершина дуги   , І дорівнює   , якщо   - кінцева вершина дуги - елемент дорівнює , якщо - початкова вершина дуги , І дорівнює , якщо - кінцева вершина дуги .

Наведемо приклад: складемо матрицю інцидентності для Мал. 17.2 , А.

Кожен стовпець матриці містить обов'язково два одиничних елемента (для орграфа ці елементи завжди мають різні знаки і рівні, відповідно, Кожен стовпець матриці містить обов'язково два одиничних елемента (для орграфа ці елементи завжди мають різні знаки і рівні, відповідно,   і   ) і ).

Кількість одиниць в рядку дорівнює ступеню відповідної вершини (для орграфа кількість позитивних одиниць визначає позитивну ступінь, а кількість негативних одиниць - негативну ступінь).

Нульова рядок відповідає ізольованою вершині, а нульовий стовпець - петлі.

Слід мати на увазі, що нульовий стовпець матриці інцидентності лише вказує на наявність петлі, але не містить відомостей те, з якою вершиною ця петля пов'язана (в практичних додатках це може бути несуттєво).

Правильність складання матриці Правильність складання матриці   легко перевірити: число одиниць в i-му рядку матриці відповідає ступеню вершини   графа, а число одиниць в кожному стовпці - двом, так як кожне ребро з'єднує дві вершини графа легко перевірити: число одиниць в i-му рядку матриці відповідає ступеню вершини графа, а число одиниць в кожному стовпці - двом, так як кожне ребро з'єднує дві вершини графа. Єдиний виняток становить петля, двічі инцидентная однієї і тієї ж вершині.

Стовпець, відповідний петлі, складається з нулів, в результаті чого матриця Стовпець, відповідний петлі, складається з нулів, в результаті чого матриця   не вказує на існування петель не вказує на існування петель. Тому при вивченні властивостей графа за допомогою цієї матриці необхідно виключити з нього петлі.

Граф однозначно задається матрицями суміжності і інцидентності. У свою чергу, кожна з цих матриць повністю визначає граф.

Існують прості прийоми переходу від однієї матриці до іншої.

Крім вище перерахованих різновидів матриць використовуються також матриці контурів, перетинів і так далі. Ці матриці використовуються, як правило, при аналізі електронних схем, тому далі вони не будуть розглядатися.

Контрольні питання

  1. На які поняття спираються поняття теорії графів?
  2. Для яких цілей використовуються графи?
  3. Сформулюйте поняття графа.
  4. Як видається граф геометрично?
  5. Що являють собою орієнтовані і неорієнтовані графи?
  6. У яких випадках і чому використовуються орієнтовані і неорієнтовані графи?
  7. Які вершини називають суміжними?
  8. Які вершини називають інцидентними?
  9. Що називають локальною ступенем вершини?
  10. Що називають незв'язним графом?
  11. Що називають маршрутом?
  12. Що входить в поняття "ланцюг"?
  13. Як складається матриця суміжності графа?
  14. Як складається матриця інцидентності?

НОУ ІНТУЇТ | лекція | Математичні методи опису моделей конструкцій РЕЗ. Елементи теорії графів

17. 2. Частини графа

Граф Граф   є частиною графа   , якщо   і   , Тобто  граф містить всі вершини і ребра будь-якій його частині є частиною графа , якщо і , Тобто граф містить всі вершини і ребра будь-якій його частині.

Частина, яка поряд з деяким підмножиною ребер графа містить і всі інцидентні їм вершини, називається подграфом.

Частина, яка поряд з деяким підмножиною ребер графа містить всі вершини графа ( Частина, яка поряд з деяким підмножиною ребер графа містить всі вершини графа (   ,   ), Називається суграфом , ), Називається суграфом.

Вихідний граф по відношенню до його підграф називають надграфом, а по відношенню до суграфом - сверхграфом.

Сукупність усіх ребер графа, що не належать його підграф (разом з інцидентними вершинами), утворює доповнення подграфа ( Рис. 17.12 ).


Рис.17.12.

Граф і його складові: а) граф; б) частину графа; в) підграф; г) суграфом

Зв'язний неорієнтований граф, що не містить циклів, називають деревом.

Незв'язний граф без циклів, окремі компоненти зв'язності якого є деревами, називають лісом.


Рис.17.13.

Три різних дерева, які можна побудувати на безлічі з трьох вершин

Всі наведені дерева ізоморфні один одному, тобто на трьох вершинах можна побудувати тільки одне неізоморфних дерево.

17. 3. Способи завдання графів

Вже зазначалося, що довільний граф можна задати сукупністю двох множин: Вже зазначалося, що довільний граф можна задати сукупністю двох множин:   - безлічі вершин і   - безлічі ребер (дуг) графа або безлічі   і відображення   безлічі   в - безлічі вершин і - безлічі ребер (дуг) графа або безлічі і відображення безлічі в .

Умовні позначення таких графів Умовні позначення таких графів   і   , Відповідно і , Відповідно.

Інший зручною формою опису графів є уявлення їх за допомогою матриць, методика формальної розробки яких добре розроблена.

Матриця суміжності

З раніше сказаного відомо, що дві вершини З раніше сказаного відомо, що дві вершини   і   графа   називаються суміжними, якщо вони є граничними вершинами ребра і графа називаються суміжними, якщо вони є граничними вершинами ребра .

Ставлення суміжності на множині вершин графа можна визначити, представивши кожне ребро як пару суміжних вершин, тобто

Для неорієнтованих графів такі пари невпорядковані, так що

а для орграфов - впорядковані, причому, а для орграфов - впорядковані, причому,   і   означають, відповідно, початкову і кінцеву вершини дуги і означають, відповідно, початкову і кінцеву вершини дуги . Петля при вершині в обох випадках було визнано невпорядкованою парою .

безліч вершин безліч вершин   разом з певним на ньому відношенням суміжності повністю визначає граф разом з певним на ньому відношенням суміжності повністю визначає граф.

Граф можна уявити матрицею суміжності.

Рядки і стовпці матриці відповідають вершинам графа, а її Рядки і стовпці матриці відповідають вершинам графа, а її   елемент дорівнює числу кратних ребер, що зв'язують вершини   і   (Або спрямованих від вершини   до вершини   для орграфов) елемент дорівнює числу кратних ребер, що зв'язують вершини і (Або спрямованих від вершини до вершини для орграфов).

Наприклад, для графа Рис. 17.2 , А, матриця суміжності має вигляд

Матриця суміжності неорієнтованого графа завжди симетрична, а орграфа - в загальному випадку несиметрична. Неорієнтованим ребрах відповідають пари ненульових елементів, симетричних відносно головної діагоналі матриці, а петель - ненульові елементи головної діагоналі.

У стовпчиках і рядках, відповідних ізольованим вершин, всі елементи дорівнюють нулю. Елементи матриці простого графа рівні 0 або 1, причому, елементи головної діагоналі дорівнюють 0.

Правильність складання матриці легко перевірити: для неорієнтованого графа сума елементів в кожному i -тому стовпці або рядку відповідає ступеню вершини Правильність складання матриці легко перевірити: для неорієнтованого графа сума елементів в кожному i -тому стовпці або рядку відповідає ступеню вершини . Якщо елементи матриці розташовані на головній діагоналі, відмінні від нуля, то це свідчить про наявність петель в вершині .

Для неорієнтованого графа матриця суміжності Для неорієнтованого графа матриця суміжності   симетрична щодо головної діагоналі, так як симетрична щодо головної діагоналі, так як .

При вирішенні цілого класу задач проектування РЕЗ доводиться оперувати матрицями, які будуються аналогічно матрицями суміжності, але значення їх елементів визначаються мірою (вагою), пов'язаної з ребром (дугою) графа.

В САПР широко використовують два різновиди таких матриць: матрицю вагових співвідношень і матрицю довжин.

Матриця вагових співвідношень

Це квадратна матриця Це квадратна матриця   , Загальний елемент якої , Загальний елемент якої

де де   - вага зв'язку - вага зв'язку .

Застосування матриць вагових співвідношень дозволяє враховувати різні вимоги до скорочення довжини тих чи інших електричних з'єднань в конструкціях РЕЗ, умови теплової та електромагнітної сумісності окремих елементів схеми і інші.

матриця довжин

Це квадратна матриця Це квадратна матриця   загальний елемент якої загальний елемент якої

де де   - довжина ребра - довжина ребра .

В евклідовій метриці відстань між двома точками на площині

де де   і   - координати вершин   і   , Відповідно і - координати вершин і , Відповідно.

Цей вислів незручно для використання в машинних програмах, так як витяг квадратного кореня на ЕОМ вимагає великих витрат часу. Тому часто користуються лінійної метрикою, тим більше, що при вирішенні багатьох конструкторських завдань вона цілком виправдана.

Приклад. При проектуванні багатошарових друкованих плат трасування з'єднань ведеться в кожному з шарів у взаємно перпендикулярних напрямках, в зв'язку з чим довжина електричних зв'язків між елементами з координатами Приклад

Лінійна метрика виявляється непридатною для вирішення завдань, в яких має місце обчислення похідних за координатами (оптимізація нелінійних функцій).

У цьому випадку відстань між двома точками представляється у вигляді статечної функції:

де де   - показник ступеня (як правило,   ) - показник ступеня (як правило, ).

Матрицю довжин використовують при вирішенні завдань оптимізації розміщення конструктивних елементів на платі, коли одним із критеріїв якості є мінімум сумарної довжини з'єднань.

матриця інцидентності

якщо вершина якщо вершина   є кінцем ребра   то кажуть, що вони інцидентні: вершина   инцидентна ребру   і ребро   інцидентне вершині є кінцем ребра то кажуть, що вони інцидентні: вершина инцидентна ребру і ребро інцидентне вершині. У той час як суміжності є відношенням між однорідними об'єктами (вершинами), инцидентность - це відношення між різнорідними об'єктами (вершинами і ребрами).

При розгляді орграфов розрізняють позитивну инцидентность (дуга виходить з вершини) і негативну инцидентность (дуга заходить в вершину).

Розглядаючи инцидентность вершин і ребер графа, можна уявити його матрицею інцидентності розміру Розглядаючи инцидентность вершин і ребер графа, можна уявити його матрицею інцидентності розміру   , Рядки якої відповідають вершинам, а стовпці - ребрах , Рядки якої відповідають вершинам, а стовпці - ребрах.

Для неорієнтованого графа елементи цієї матриця визначаються за наступним правилом: ij - елемент дорівнює 1, якщо вершина Для неорієнтованого графа елементи цієї матриця визначаються за наступним правилом: ij - елемент дорівнює 1, якщо вершина   инцидентна ребру   і дорівнює нулю, якщо   і   НЕ інцидентні инцидентна ребру і дорівнює нулю, якщо і НЕ інцидентні.

У разі орграфа ненульовий У разі орграфа ненульовий   - елемент дорівнює   , якщо   - початкова вершина дуги   , І дорівнює   , якщо   - кінцева вершина дуги - елемент дорівнює , якщо - початкова вершина дуги , І дорівнює , якщо - кінцева вершина дуги .

Наведемо приклад: складемо матрицю інцидентності для Рис. 17.2 , А.

Кожен стовпець матриці містить обов'язково два одиничних елемента (для орграфа ці елементи завжди мають різні знаки і рівні, відповідно, Кожен стовпець матриці містить обов'язково два одиничних елемента (для орграфа ці елементи завжди мають різні знаки і рівні, відповідно,   і   ) і ).

Кількість одиниць в рядку дорівнює ступеню відповідної вершини (для орграфа кількість позитивних одиниць визначає позитивну ступінь, а кількість негативних одиниць - негативну ступінь).

Нульова рядок відповідає ізольованою вершині, а нульовий стовпець - петлі.

Слід мати на увазі, що нульовий стовпець матриці інцидентності лише вказує на наявність петлі, але не містить відомостей те, з якою вершиною ця петля пов'язана (в практичних додатках це може бути несуттєво).

Правильність складання матриці Правильність складання матриці   легко перевірити: число одиниць в i-му рядку матриці відповідає ступеню вершини   графа, а число одиниць в кожному стовпці - двом, так як кожне ребро з'єднує дві вершини графа легко перевірити: число одиниць в i-му рядку матриці відповідає ступеню вершини графа, а число одиниць в кожному стовпці - двом, так як кожне ребро з'єднує дві вершини графа. Єдиний виняток становить петля, двічі инцидентная однієї і тієї ж вершині.

Стовпець, відповідний петлі, складається з нулів, в результаті чого матриця Стовпець, відповідний петлі, складається з нулів, в результаті чого матриця   не вказує на існування петель не вказує на існування петель. Тому при вивченні властивостей графа за допомогою цієї матриці необхідно виключити з нього петлі.

Граф однозначно задається матрицями суміжності і інцидентності. У свою чергу, кожна з цих матриць повністю визначає граф.

Існують прості прийоми переходу від однієї матриці до іншої.

Крім вище перерахованих різновидів матриць використовуються також матриці контурів, перетинів і так далі. Ці матриці використовуються, як правило, при аналізі електронних схем, тому далі вони не будуть розглядатися.

Контрольні питання

  1. На які поняття спираються поняття теорії графів?
  2. Для яких цілей використовуються графи?
  3. Сформулюйте поняття графа.
  4. Як видається граф геометрично?
  5. Що являють собою орієнтовані і неорієнтовані графи?
  6. У яких випадках і чому використовуються орієнтовані і неорієнтовані графи?
  7. Які вершини називають суміжними?
  8. Які вершини називають інцидентними?
  9. Що називають локальною ступенем вершини?
  10. Що називають незв'язним графом?
  11. Що називають маршрутом?
  12. Що входить в поняття "ланцюг"?
  13. Як складається матриця суміжності графа?
  14. Як складається матриця інцидентності?

НОУ ІНТУЇТ | лекція | Математичні методи опису моделей конструкцій РЕЗ. Елементи теорії графів

17. 2. Частини графа

Граф Граф   є частиною графа   , якщо   і   , Тобто  граф містить всі вершини і ребра будь-якій його частині є частиною графа , якщо і , Тобто граф містить всі вершини і ребра будь-якій його частині.

Частина, яка поряд з деяким підмножиною ребер графа містить і всі інцидентні їм вершини, називається подграфом.

Частина, яка поряд з деяким підмножиною ребер графа містить всі вершини графа ( Частина, яка поряд з деяким підмножиною ребер графа містить всі вершини графа (   ,   ), Називається суграфом , ), Називається суграфом.

Вихідний граф по відношенню до його підграф називають надграфом, а по відношенню до суграфом - сверхграфом.

Сукупність усіх ребер графа, що не належать його підграф (разом з інцидентними вершинами), утворює доповнення подграфа ( Рис. 17.12 ).


Рис.17.12.

Граф і його складові: а) граф; б) частину графа; в) підграф; г) суграфом

Зв'язний неорієнтований граф, що не містить циклів, називають деревом.

Незв'язний граф без циклів, окремі компоненти зв'язності якого є деревами, називають лісом.


Рис.17.13.

Три різних дерева, які можна побудувати на безлічі з трьох вершин

Всі наведені дерева ізоморфні один одному, тобто на трьох вершинах можна побудувати тільки одне неізоморфних дерево.

17. 3. Способи завдання графів

Вже зазначалося, що довільний граф можна задати сукупністю двох множин: Вже зазначалося, що довільний граф можна задати сукупністю двох множин:   - безлічі вершин і   - безлічі ребер (дуг) графа або безлічі   і відображення   безлічі   в - безлічі вершин і - безлічі ребер (дуг) графа або безлічі і відображення безлічі в .

Умовні позначення таких графів Умовні позначення таких графів   і   , Відповідно і , Відповідно.

Інший зручною формою опису графів є уявлення їх за допомогою матриць, методика формальної розробки яких добре розроблена.

Матриця суміжності

З раніше сказаного відомо, що дві вершини З раніше сказаного відомо, що дві вершини   і   графа   називаються суміжними, якщо вони є граничними вершинами ребра і графа називаються суміжними, якщо вони є граничними вершинами ребра .

Ставлення суміжності на множині вершин графа можна визначити, представивши кожне ребро як пару суміжних вершин, тобто

Для неорієнтованих графів такі пари невпорядковані, так що

а для орграфов - впорядковані, причому, а для орграфов - впорядковані, причому,   і   означають, відповідно, початкову і кінцеву вершини дуги і означають, відповідно, початкову і кінцеву вершини дуги . Петля при вершині в обох випадках було визнано невпорядкованою парою .

безліч вершин безліч вершин   разом з певним на ньому відношенням суміжності повністю визначає граф разом з певним на ньому відношенням суміжності повністю визначає граф.

Граф можна уявити матрицею суміжності.

Рядки і стовпці матриці відповідають вершинам графа, а її Рядки і стовпці матриці відповідають вершинам графа, а її   елемент дорівнює числу кратних ребер, що зв'язують вершини   і   (Або спрямованих від вершини   до вершини   для орграфов) елемент дорівнює числу кратних ребер, що зв'язують вершини і (Або спрямованих від вершини до вершини для орграфов).

Наприклад, для графа Рис. 17.2 , А, матриця суміжності має вигляд

Матриця суміжності неорієнтованого графа завжди симетрична, а орграфа - в загальному випадку несиметрична. Неорієнтованим ребрах відповідають пари ненульових елементів, симетричних відносно головної діагоналі матриці, а петель - ненульові елементи головної діагоналі.

У стовпчиках і рядках, відповідних ізольованим вершин, всі елементи дорівнюють нулю. Елементи матриці простого графа рівні 0 або 1, причому, елементи головної діагоналі дорівнюють 0.

Правильність складання матриці легко перевірити: для неорієнтованого графа сума елементів в кожному i -тому стовпці або рядку відповідає ступеню вершини Правильність складання матриці легко перевірити: для неорієнтованого графа сума елементів в кожному i -тому стовпці або рядку відповідає ступеню вершини . Якщо елементи матриці розташовані на головній діагоналі, відмінні від нуля, то це свідчить про наявність петель в вершині .

Для неорієнтованого графа матриця суміжності Для неорієнтованого графа матриця суміжності   симетрична щодо головної діагоналі, так як симетрична щодо головної діагоналі, так як .

При вирішенні цілого класу задач проектування РЕЗ доводиться оперувати матрицями, які будуються аналогічно матрицями суміжності, але значення їх елементів визначаються мірою (вагою), пов'язаної з ребром (дугою) графа.

В САПР широко використовують два різновиди таких матриць: матрицю вагових співвідношень і матрицю довжин.

Матриця вагових співвідношень

Це квадратна матриця Це квадратна матриця   , Загальний елемент якої , Загальний елемент якої

де де   - вага зв'язку - вага зв'язку .

Застосування матриць вагових співвідношень дозволяє враховувати різні вимоги до скорочення довжини тих чи інших електричних з'єднань в конструкціях РЕЗ, умови теплової та електромагнітної сумісності окремих елементів схеми і інші.

матриця довжин

Це квадратна матриця Це квадратна матриця   загальний елемент якої загальний елемент якої

де де   - довжина ребра - довжина ребра .

В евклідовій метриці відстань між двома точками на площині

де де   і   - координати вершин   і   , Відповідно і - координати вершин і , Відповідно.

Цей вислів незручно для використання в машинних програмах, так як витяг квадратного кореня на ЕОМ вимагає великих витрат часу. Тому часто користуються лінійної метрикою, тим більше, що при вирішенні багатьох конструкторських завдань вона цілком виправдана.

Приклад. При проектуванні багатошарових друкованих плат трасування з'єднань ведеться в кожному з шарів у взаємно перпендикулярних напрямках, в зв'язку з чим довжина електричних зв'язків між елементами з координатами Приклад

Лінійна метрика виявляється непридатною для вирішення завдань, в яких має місце обчислення похідних за координатами (оптимізація нелінійних функцій).

У цьому випадку відстань між двома точками представляється у вигляді статечної функції:

де де   - показник ступеня (як правило,   ) - показник ступеня (як правило, ).

Матрицю довжин використовують при вирішенні завдань оптимізації розміщення конструктивних елементів на платі, коли одним із критеріїв якості є мінімум сумарної довжини з'єднань.

матриця інцидентності

якщо вершина якщо вершина   є кінцем ребра   то кажуть, що вони інцидентні: вершина   инцидентна ребру   і ребро   інцидентне вершині є кінцем ребра то кажуть, що вони інцидентні: вершина инцидентна ребру і ребро інцидентне вершині. У той час як суміжності є відношенням між однорідними об'єктами (вершинами), инцидентность - це відношення між різнорідними об'єктами (вершинами і ребрами).

При розгляді орграфов розрізняють позитивну инцидентность (дуга виходить з вершини) і негативну инцидентность (дуга заходить в вершину).

Розглядаючи инцидентность вершин і ребер графа, можна уявити його матрицею інцидентності розміру Розглядаючи инцидентность вершин і ребер графа, можна уявити його матрицею інцидентності розміру   , Рядки якої відповідають вершинам, а стовпці - ребрах , Рядки якої відповідають вершинам, а стовпці - ребрах.

Для неорієнтованого графа елементи цієї матриця визначаються за наступним правилом: ij - елемент дорівнює 1, якщо вершина Для неорієнтованого графа елементи цієї матриця визначаються за наступним правилом: ij - елемент дорівнює 1, якщо вершина   инцидентна ребру   і дорівнює нулю, якщо   і   НЕ інцидентні инцидентна ребру і дорівнює нулю, якщо і НЕ інцидентні.

У разі орграфа ненульовий У разі орграфа ненульовий   - елемент дорівнює   , якщо   - початкова вершина дуги   , І дорівнює   , якщо   - кінцева вершина дуги - елемент дорівнює , якщо - початкова вершина дуги , І дорівнює , якщо - кінцева вершина дуги .

Наведемо приклад: складемо матрицю інцидентності для Рис. 17.2 , А.

Кожен стовпець матриці містить обов'язково два одиничних елемента (для орграфа ці елементи завжди мають різні знаки і рівні, відповідно, Кожен стовпець матриці містить обов'язково два одиничних елемента (для орграфа ці елементи завжди мають різні знаки і рівні, відповідно,   і   ) і ).

Кількість одиниць в рядку дорівнює ступеню відповідної вершини (для орграфа кількість позитивних одиниць визначає позитивну ступінь, а кількість негативних одиниць - негативну ступінь).

Нульова рядок відповідає ізольованою вершині, а нульовий стовпець - петлі.

Слід мати на увазі, що нульовий стовпець матриці інцидентності лише вказує на наявність петлі, але не містить відомостей те, з якою вершиною ця петля пов'язана (в практичних додатках це може бути несуттєво).

Правильність складання матриці Правильність складання матриці   легко перевірити: число одиниць в i-му рядку матриці відповідає ступеню вершини   графа, а число одиниць в кожному стовпці - двом, так як кожне ребро з'єднує дві вершини графа легко перевірити: число одиниць в i-му рядку матриці відповідає ступеню вершини графа, а число одиниць в кожному стовпці - двом, так як кожне ребро з'єднує дві вершини графа. Єдиний виняток становить петля, двічі инцидентная однієї і тієї ж вершині.

Стовпець, відповідний петлі, складається з нулів, в результаті чого матриця Стовпець, відповідний петлі, складається з нулів, в результаті чого матриця   не вказує на існування петель не вказує на існування петель. Тому при вивченні властивостей графа за допомогою цієї матриці необхідно виключити з нього петлі.

Граф однозначно задається матрицями суміжності і інцидентності. У свою чергу, кожна з цих матриць повністю визначає граф.

Існують прості прийоми переходу від однієї матриці до іншої.

Крім вище перерахованих різновидів матриць використовуються також матриці контурів, перетинів і так далі. Ці матриці використовуються, як правило, при аналізі електронних схем, тому далі вони не будуть розглядатися.

Контрольні питання

  1. На які поняття спираються поняття теорії графів?
  2. Для яких цілей використовуються графи?
  3. Сформулюйте поняття графа.
  4. Як видається граф геометрично?
  5. Що являють собою орієнтовані і неорієнтовані графи?
  6. У яких випадках і чому використовуються орієнтовані і неорієнтовані графи?
  7. Які вершини називають суміжними?
  8. Які вершини називають інцидентними?
  9. Що називають локальною ступенем вершини?
  10. Що називають незв'язним графом?
  11. Що називають маршрутом?
  12. Що входить в поняття "ланцюг"?
  13. Як складається матриця суміжності графа?
  14. Як складається матриця інцидентності?
Для яких цілей використовуються графи?
Як видається граф геометрично?
Що являють собою орієнтовані і неорієнтовані графи?
У яких випадках і чому використовуються орієнтовані і неорієнтовані графи?
Які вершини називають суміжними?
Які вершини називають інцидентними?
Що називають локальною ступенем вершини?
Що називають незв'язним графом?
Що називають маршрутом?
Що входить в поняття "ланцюг"?

Copyright ©
Карта сайта
Все права защищены